Cho các số dương x, y thoả mãn \(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=x^2+y^2=x^2\sqrt{x}+y^2\sqrt{y}.\)Tính giá trị của x + y .
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2018\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(T=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
Cho các số thực dương x, y ,z thỏa mãn: \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2018\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(T=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
Tham khảo tại đây: Câu hỏi của dbrby - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Cho x, y là các số thực thỏa mãn: \(\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(S=x^2+3xy-2y^2-4y+5\)
Các cậu giúp hộ tớ ạ~
cho x,y >0 thoả mãn hệ thức: \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=3\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+5\sqrt{y}\right)\).
hãy tính giá trị của biểu thức: \(E=\frac{2x+\sqrt{xy}+3y}{x+\sqrt{xy}-y}\)
\(x+\sqrt{xy}=3\sqrt{xy}+15y\Leftrightarrow x-2\sqrt{xy}+y=16y\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y}+4\sqrt{y}=5\sqrt{y}\Leftrightarrow x=25y\)
\(E=\frac{50y+5y+3y}{25y+5y-y}=\frac{58}{29}=2\)
Cho các số không âm x,y,z thõa x+y+z=3. Tìm giá trị lớn nhất của
\(A=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+3\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\) .
Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\)
CMR :
\(\sqrt{\frac{xy}{x+y+2x}}+\sqrt{\frac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\frac{zx}{z+x+2y}}\le\frac{1}{2}\)
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a;b;c>0\end{cases}}\)
Và \(\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}+\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2+2a^2}}+\frac{ca}{\sqrt{c^2+a^2+2b^2}}\le\frac{1}{2}\)
Ta có :
\(\frac{ab}{a^2+b^2+2c^2}=\frac{2ab}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(a^2+b^2+2c^2\right)}}\)
\(\le\frac{2ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại roouf cộng theo vế :
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{9}\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(a)\) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn: \(x^2+y^2+z^2=1\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M=x+y+z-3\)
\(b)\)Cho 2 số dương x, y thỏa mãn: \((\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\ge4\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\)
a) Từ đề bài có: \(x\left(x-1\right)\le0\Rightarrow x^2\le x\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế suy ra:
\(M=x+y+z-3\ge x^2+y^2+z^2-3=-2\)
Đẳng thức xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó
Is it true?
\(4\le\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1\le\sqrt{2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{2}+1\)
\(\Leftrightarrow\)\(8\le x+y+2\sqrt{x+y}\sqrt{2}+2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\ge\sqrt{8}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge\left(\sqrt{8}-\sqrt{2}\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\)\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Cho x, y, z thoả mãn \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{y+1}+\frac{\sqrt{y}+1}{z+1}+\frac{\sqrt{z}+1}{x+1}\)
Lời giải:
\(P=(\sqrt{x}+1)-\frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+(\sqrt{y}+1)-\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+(\sqrt{z}+1)-\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\)
\(=(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+3)-\left[\frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\right]\)
\(=6-\left[\frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\right](1)\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\leq \frac{y(\sqrt{x}+1)}{2\sqrt{y}}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{2\sqrt{z}}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})}{2}\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: \((\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})\leq \frac{1}{3}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\)
\(\Rightarrow \frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\leq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+\frac{1}{3}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}{2}=3(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow P\geq 6-3=3\)
Vậy \(P_{\min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Cho x, y, z là các số dương và xyz = 4 Tính giá trị biểu thức :
\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+2}+\dfrac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}\)